Simplifying radicals | Exponents, radicals, and scientific notation | Pre-Algebra | Khan Academy

Bienvenido a la presentación de reducción de raíces Vamos a comenzar con un poco de terminología. Probablemente estás pensando en que cosa es un radical (o raíz), así que te ayudaré. Tengo que ajustar la pluma. Un radical es simplemente eso. Probablemente reconocerás el símbolo de la raíz cuadrada. Así que con la terminología no es un estorbo, entonces vamos a hablar lo que significa reducir una raíz. Alguna gente argumentará que lo que realmente vamos a hacer es en realidad complicarnos más las cosas. Pero veamos. Permíteme borrar esto. Así, si te diese la raíz cuadrada de 36, tú dirías, ah, eso es fácil. Eso es simplemente 6 por 6 o dirías que la raíz cuadrada de 36 es 6 y ya está. Ahora, ¿y si te preguntase cuanto es la raíz cuadrada de 72? Bien, sabemos que 72 es 36 por 2 ¿cierto? Escribamos esto. La raíz cuadrada de 72 es lo mismo que, la raíz cuadrada de 36 por 2. ¿Correcto? Simplemente reescribimos 72 como 36 por 2. Y la raíz cuadrada, si recuerdas del nivel 3 de exponentes, la raíz cuadrada es lo mismo que la potencia "un medio". Lo escribimos así; y lo estoy escribiendo de esta manera sólo para mostrarte como la reducción de raíces funciona, y que en realidad no es un concepto nuevo. De modo que es lo mismo que 36 por 2, a la potencia "un medio". ¿Correcto? Porque una raíz cuadrada es la misma cosa que la potencia "un medio". Y aprendimos de las reglas de los exponentes que cuando multiplicas dos números y elevas el producto a la potencia un medio, es la misma cosa que elevar cada uno de los números a la potencia un medio y entonces multiplicarlos. ¿Hasta aquí bien? Resumiendo, es lo mismo decir que es: la raíz cuadrada de 36, por la raíz cuadrada de 2. Y ya sabemos cuanto es la raíz de 36. Es 6. De modo que es simplemente 6 veces la raíz cuadrada de 2. Y probablemente estás pensando porque fui a través del paso de cambiar la raíz, el símbolo de la raíz cuadrada, en la potencia "un medio." Lo hice sólo para mostrarte que esto es sólo una extensión de las reglas de los exponentes. No es realmente un nuevo concepto. Aunque, supongo que a veces no es tan obvio que son los mismos conceptos. Sólo quería señalarlo. Resolvamos otro problema. Pienso que conforme resolvemos más y más problemas, estos se volverán más evidentes. La raíz cuadrada de 50. Bien, la raíz cuadrada de 50 - 50 es lo mismo que 25 por 2. Y sabemos, basándonos en que lo que hicimos es aplicar un regla de los exponentes, la raíz cuadrada de 25 por 2, es igual a la raíz cuadrada de 25 por la raíz cuadrada de 2. Y sabemos cuanto es la raíz cuadrada de 25. Es 5. Así que es igual a 5 por la raíz cuadrada de 2. Bien, podrías pensar, "Oye, Sal, pero lo haces parecer fácil" "¿pero cómo sabías que debíamos partir 50 en 25 y 2?" ¿Por qué no dije que 50 es igual a la raíz cuadrada de 5 y 10? ¿O que 50 es igual a la raíz cuadrada de -digamos-, 1 y 50? No sé que otros factores tenga 50. Bien, no iremos a esa parte en este momento. La razón por la que elegí 25 y 2 es porque quería un factor de 50 - que resultase ser un cuadrado perfecto. Y ese es 25. Si hubiese elegido 5 y 10, en realidad no podría haber hecho nada con ello, porque ni 5 ni 10 son cuadrados perfectos y es lo mismo con 1 y 50. De modo que como debes pensar en esto, es buscar los factores del número original y trabajar con los factores que son cuadrados perfectos. No hay un proceso mecánico en ello. Tienes que aprender a reconocer cuadrados perfectos. Y te familiarizarás con ellos, por supuesto. Son el 1, 4, 9, 25, 16, 25, 36, 49, 64, etcétera. Y tal vez realizando este módulo, realmente aprenderás a reconocerlos más fácilmente. Pues si cualquiera de estos números son un factor del número bajo el signo de raíz probablemente puedes factorizarlo, y entonces puedes sacarlos del signo raíz como hicimos en este problema. Hagamos un par más. ¿Cuanto es 7 por la raíz cuadrada de 27? Y entonces escribo el 7 al lado, lo que significa que lo multiplicamos por la raíz cuadrada de 27. Bien, pensemos cuales son los otros factores de 27, y si alguno de ellos es un cuadrado perfecto. Bien, 3 es un factor de 27, pero no es cuadrado perfecto. El 9 sí es. Así, podríamos decir 7 - es igual a 7 por, la raíz cuadrada de 9 por 3. Y ahora, basándonos en la reglas que acabamos de estudiar, es lo mismo que 7 por la raíz cuadrada de 9 por la raíz cuadrada de 3. Entonces eso es igual a 7 por 3, porque la raíz cuadrada de 9 es 3 y eso, por la raíz cuadrada de 3. Eso es igual a 21 por la raíz cuadrada de 3. Hecho. Hagamos uno más. ¿Cuánto es 9 por la raíz cuadrada de 18? Bien, una vez más, ¿cuáles son los factores de 18? Bien, tenemos 6 y 3. 1 y 18. Ninguno de esos números son cuadrados perfectos. Pero tenemos 2 y 9. Y 9 es un cuadrado perfecto. Vamos a escribirlo. Eso es igual a 9 por la raíz cuadrada de, 2 por 9. Lo que es igual a 9 por la raíz cuadrada de 2 - eso es un 2, por la raíz cuadrada de 9. ¿Y qué es igual a 9, por la raíz cuadrada de 2, por 3, cierto? Eso es la raíz cuadrada de 9 que es igual a 27 por la raíz cuadrada de 2. Y ya está. Confío en que, estás comenzando a tener la idea de estos problemas. Vamos a hacer otro más. ¿Cuánto es 4 por la raíz cuadrada de 25? Bien, veinticinco es en sí un cuadrado perfecto. Esto es un problema que es tan sencillo que es un poco un problema con truco. 25 en sí es un cuadrado perfecto. La raíz cuadrada es 5, así que esto es igual a 4 por 5, que es igual a 20. La raíz cuadrada de 25 es 5. Hagamos uno más. ¿Cuánto es 3 por la raíz cuadrada de 29? Bien, 29 tiene sólo dos factores. Es un número primo. Sólo tiene los factores 1 y 29. Y ninguno de estos números son cuadrados perfectos. Y esto no podemos simplificarlo más. Entonces, ésta es una forma completamente simplificada. Hagamos un par más. ¿Cuánto es 7 por la raíz cuadrada de 320? Pensemos primero en 320. Podríamos hacerlo realmente en etapas cuando tenemos números más grandes como éste. Puedo ver directamente y decir, eso se ve como 4 - en realidad parece que 16 sería apropiado en esto porque 16 es factor de 32. Vamos a intentar eso. Así que es igual a 7 por, la raíz cuadrada de 16 por 20. Bien, eso es igual 7 por la raíz cuadrada de 16 por la raíz cuadrada de 20. 7 por la raíz cuadrada de 16. La raíz cuadrada de 16 es 4. Y 7 por 4 es 28. Y entonces es igual a 28 por la raíz cuadrada de 20. ¿Y hemos terminado? Bien, en realidad, pienso que puedo factorizar 20 aún más porque 20 es igual a 4 por 5. De modo que puedo decir que es 28 por, la raíz cuadrada de cuatro por cinco. La raíz cuadrada de 4 es 2 así que podía simplemente tomar el 2 y entonces eso se convierte en 56 por la raíz cuadrada de 5. Espero que tenga sentido para ti. Y ésta es realmente una técnica muy importante pues puedo partir así. Cuando vi el 320. No sé cual es el número más grande que cabe en 320. Y sucede que es 64. Pero con tan sólo mirar el número, me dije, bueno sé que ahí está el 4. Y podría haber obtenido el 4, y decir, "ah, eso es 4 por 80." Y entonces tendría que haber trabajado con 80. En este caso, vi 32 y fue como, parece que 16 está en éste. Y factoricé 16 primero. Y cuando observé la raíz cuadrada de 16, multipliqué el número exterior por 4 y así es como obtuvimos el 28. Pero cuando reduje el número al interior de la raíz, dije "ah, eso todavía es divisible por un cuadrado perfecto." "Es todavía divisible por 4." Y entonces seguí hasta quedarme con esencialmente, un número primo o un número que no puede reducirse aún más bajo la raíz. Y no tiene que ser necesariamente un número primo. Y creo que, eso puede darte una buena idea de como hacer reducción de raíces. Es realmente sólo una extensión a las reglas de los exponentes lo que has aprendido, y creo que conforme realices el módulo, podrás llegar a ser bueno con esto. ¡Pásalo bien!