Optimización de una área dado el perímetro BACHILLERATO unicoos

y hola chicos qué tal gracias por venir a clase aquí estamos otra vez con un ejercicio de optimización que se da en 2º de bachiller incluso cae en selectividad qué tiene que ver con el tema de las derivadas con aplicaciones de las derivadas es uno de los temas que más me gusta explicaros porque es un tema en el que se puede ver rápidamente para qué utilizar las matemáticas en el mundo real qué es lo que realmente mola vale de optimización ya tenéis un par de vídeos más complejos que éste incluso pérez m le preguntarán otro día y me pareció muy chulo precisamente por eso porque no era tan difícil como nosotros dos que dice vale este en particular me pide que calculé las dimensiones que tienen que tener una ventana normanda que está compuesta por un rectángulo y un semicírculo de perímetro 10 para que el área de esa ventana sea la mayor posible no sé supongo que para que entre la mayor cantidad de luz posible vale en estos ejercicios siempre que plantear dos cosas por un lado lo que quiero maximizar o minimizar y normalmente también una relación entre las diferentes incógnitas que aparezcan vale que en este caso son 3 en este caso tenemos la altura a la cual la llamara y la base a la cual vamos a llamar x y por supuesto el radio aunque el radio de esa semicircunferencia tiene muchísimo que ver con x si os fijáis y seguro que lo habéis visto ya la base de nuestro rectángulo es justamente el doble que el radio así que una cosa que se puede hacer es llamar al radio x y por tanto llamar a la base 2x porque si la distancia desde aquí hasta aquí es equis y la distancia de la que hasta aquí también es equis porque también sería el radio toda esta distancia será el doble será 2x de esta manera teníamos 352 incógnitas y ahora sólo tenemos una y sólo nos quedará esta y de aquí dándonos problemas porque porque ahora a la hora de maximizar hay que derivar y para derivar solo hay que derivar en función de una sola incógnita así que no podemos tener dos para ello habrá que establecer la relación que existe entre ellas utilizando el dato que me den que en este caso es el perímetro ese perímetro de 10 metros me va a ser muy útil pero vamos a empezar viendo cuál es el área que tengo que maximizar que es la función que tendría que derivar el área después de haber hecho este cambio que podemos haber dicho también que si esto es x esto que es el radio es x partido entre 2 pero prefiero la forma primera que he elegido para evitar fracciones podría dicho que todo esto es equis y que el radio es justo la mitad pero tendríamos en el radio una fracción que no me apetece vale podéis intentar hacer el ejercicio así y os daría lo mismo que a mí y después vale el caso es que el área sería el área de mi rectángulo este rectángulo de aquí que sería base por altura la base de 2x y la altura así tendríamos 2 x x y x base por altura más el área de ese semicírculo bueno tenéis que recordar que el área de un círculo es por el radio al cuadrado por lo tanto el área del semicírculo será igual a la mitad de eso y por el cuadrado partido entre 2 como nuestro radio es x en nuestro caso nos quedará que nuestro área es x x al cuadrado partido entre 2 y eso será lo que tengamos que poner aquí si os fijáis tengo una expresión del área que tendré que derivar más tarde con dos incógnitas xy esa y me está dando problemas vamos a quitar la vamos a utilizar ese perímetro que me han dado lo voy a hacer aquí arriba vale el perímetro que es la suma de todos los lados tendremos que sumar este lado este lado este lado y todo ese arco de ahí vale que es una semi circunferencia bueno pues el perímetro sería 2x toda esta distancia de aquí que es si más toda esta distancia de aquí que también es si pueden saber pues todo si desde el principio más la longitud de esa semicircunferencia recordamos de nuevo que el área de poner a ver borra te busque mal se borran que la longitud de una circunferencia es 2 x por el radio por lo tanto la longitud de una circunferencia será la mitad de dos pies que es y por ere como hemos llamado a nuestro radio x recordad que x para nuestro ejercicio en este caso es el radio nos va a quedar que esa longitud que queremos es pi por equis y será la que habrá que poner aquí y ya casi estamos en disposición si os fijáis de poder despejar lo que vale y lo vamos a hacer aquí nos queda que 10 es igual a 2x más y más y que es 2 y más y por x el 2 y que está aquí le vamos a dejar en su sitio porque está positivo y queda más bonito positivo así que pasó el 2x al otro lado restando y pasó el pib por equis también al otro miembro restando y me queda y ahora el 2 que está multiplicando le pasa al otro lado dividiendo me quedaría 10 2x y por equis todo ello partido entre 2 y eso sería lo que vale y que de hecho lo voy a apuntar porque como luego me pide las dimensiones tendréis que calcularlo vale lo voy a dejar apuntado pues pues pues por ahora por aquí vale sustituimos es ahí en el área y al sustituir nos queda 2 por x por y que es todo esto que podría haber simplificado diciendo que es 5 - x menos y por equis partido entre 2 pero ahora veréis por qué lo dejado así más por x al cuadrado porque entre 2 porque he dejado ese 2 porque he visto que con este todo aquí se me iría porque tengo un 2 multiplicando y tengo un 2 dividiendo el 2 con el 2 se va y me queda finalmente que mi área es igual a x por esta expresión de aquí que aplicando distributiva sería x por el primero x por el segundo y x por el tercero x por 10 10 x x x menos 2 x menos 2 x cuadrado x x menos px menos pi por x al cuadrado y el más pie cuadrado partido entre 2 no os lo comáis por estar ahí solito y este sería el área muy importante que tenemos que maximizar que si os fijáis solo tiene x y es muy fácil de derivar vale vamos a borrar todo esto apuntando por ahí lo de la iv que es muy importante vale borramos lo había copiado sí no y es igual a - 2x x x partido entre 2 y ya tenemos el área que depende sólo de nuestra incógnita y vamos a derivar hallar el posible punto crítico igualando a 0 etcétera etcétera lo que hemos hecho siempre para hallar máximos y mínimos de una función para derivar voy muy rápido de 10 x 10 la derivada de 2x cuadrado 4x la derivada de menos px cuadrado menos 2 por pi por x y la derivada de px cuadrado entre 2 sería 2 x pi por x partido entre 2 y el 2 con el 2 se termina yendo podemos simplificar un poquito este menos 2 px con más px y nos quedará 10 menos 4 x menos pi por x menos dos patatas más una patata menos una patata algo parecido a eso vale bueno el caso es que tenemos nuestra derivada y lo que hacemos ahora es igualar esa derivada a 0 y obtendremos un posible máximo o un posible mínimo espero que son máximo al hacerlo nos queda 10 menos 4 x menos y por x igual a cero las x se quedan en un lado los números se pasan al otro el 10 que estaba sumando pasa al otro lado restando y esto si sacamos factor común nos quedaría así de dónde podemos despejar x muy fácil vale esto que me queda todo negativo si multiplicamos el numerador ya denominador por el mismo número me queda algo más bonito y más sencillo que sería esto y ese sería el valor de x que es igual a 10 partido entre 4 + piqué lo voy a poner por aquí x igual a 10 partido entre 4 + pick-up y más 4 vale importante podríamos ya casi asegurar que ese va a ser el máximo de mi función es decir el valor de la x que maximiza mi área que era toda esta expresión de aquí vale pero vamos a comprobar que realmente un máximo porque en este caso es muy sencillo de comprobar os acordáis como se hacía vale se hace la segunda derivada de mi función la primera derivada la tenemos aquí es ésta esta es la primera derivada bueno pues derivamos derivada de 10-0 la derivada de menos 4x menos 4 y la derivada de menos pi por x menos pi lo que se hace ahora en la segunda derivada de sustituir el valor de la x que me ha dado aunque en este caso no puedo se escribiría algo parecido a esto cuánto vale la segunda derivada cuando la x es 10 partido entre 4 más para la segunda derivada siempre vale lo mismo porque no depende de x y nos queda menos cuatro menos pi que ocurre que menos cuatro menos pi siempre va a ser negativo -4 menos 3,14 menos 7 como algo y por tanto esto será menor que cero y tenéis que recordar la teoría y recordar que cuando hacíamos esta comprobación si en la segunda derivada después de sustituir el punto crítico nos quedaba negativo entonces ese valor de x era uno máximo vale y con esto casi casi casi habríamos terminado el ejercicio pero ya podemos asegurar que ese valor de x 10 partido entre 4 + 3 14 15 etcétera sería el valor de x que o el valor que hace que esta ventana tenga un área lo más grande posible pero como me pide las dimensiones tenemos que decirle cuánto vale la base y cuánto vale la altura o al menos expresarse lo de una forma un poquito más bonita borro espero que hayáis entendido bien tenemos el área hemos derivado hemos igualado a cero hemos obtenido un valor hemos hecho la segunda derivada hemos comprobado si nos queda negativo o positivo en la segunda derivada y como nos queda negativo máximo y ahora ya resolvemos el ejercicio que es lo que nos piden pero ya no nos quedaría absolutamente nada casi casi casi casi nada atención la base la base de mi ventana normanda es 2 x x y como x es 10 partido entre 4 más y me quedaría esto que es 20 partido entre cuatro más pi en que se mide como todo está como el perímetro estaban metros en metros y esa sería la base y la altura la altura así era toda esta expresión de aquí bueno pues en la equis nos va a sustituir todo eso antes de sustituir vamos a simplificar un poco para hacer esta división y que no nos queden más fracciones de las normales como todo está dividido entre dos divido a cada uno entre 2 10 entre 25 2x entre 2 x y menos pi por equis entre 2 - y por equis entre 2 o menos y medio por x por ejemplo vale sustituimos la x que nos ha dado y nos quedaría 5 menos 10 partido entre 4 más p - y medios por la equis que es 10 partidos entre 4 más este 10 con este 2 se puede simplificar y me quedaría un 5 y finalmente me queda 5 - 10 partido entre 4 más menos cinco partidos entre cuatro más para qué me voy 10 entre 255 por 5 p podríamos pasarlo todo a común denominador que sería 4 + piqué es fácil aquí hay 11 y digo cuatro más pi entre 14 y cuatro más por 520 más 54 partido por 5 y 4 más vientre 4 más y 11 por menos 10 menos 10 voy muy rápido porque estáis en 2º de bachiller menos cuatro más cliente 4,11 por menos cinco y menos cinco pi 5 - 5 pisaban 2010 me queda 10 y ese sería el valor de mi altura que si os fijáis 10 partido entre 4 más para saber que aquí queda más bonito es exactamente igual que el valor de la equis fijaros lo veis no que era x el radio curioso nos queda una ventana en la cual este radio de esta circunferencia es igual que la y que es la altura vale o sea que la montaña está tendría más o menos la montaña la ventana tendría más o menos esta forma de manera que la altura que sí es exactamente también el radio de la circunferencia digamos que si yo hiciera una circunferencia sería llegaría justo sería tangente justo a la base y ese sería el valor de nuestra o la forma de nuestra ventana que ya no es tan alargada sino que tiene de esta forma vale y ya está hecho el ejercicio como veis y fácil porque es fácil confundirse y operar con tantas letras pero tampoco es muy complicado sólo hay que tener mezclar las fórmulas de áreas y volúmenes de cuerpos geométricos derivar bien aunque derivar en este caso era fácil no hay que hacer derivada muy raras y luego hacer ecuaciones igual a 0 resolver una ecuación hay que tener las cosas muy claras y recordar para vuestra desgracia lo siento de nuevo todas las fórmulas de las áreas y los volúmenes de formas y de cuerpos geométricos lo siento para estos ejercicios es imprescindible cómo hacerlo como soltura como no confundirse como ir muy rápido con todas estas operaciones sin confundirse pues haciendo muchísimos ejercicios ya sabes lo que tienes que hacer chicos practicar y practicar y practicar y aprobar 'aces' seguro i e