Matrices: Reduced row echelon form 1 | Vectors and spaces | Linear Algebra | Khan Academy

Tengo aquí tres ecuaciones de cuatro incógnitas. Pueden suponer, o quizá ya sepan, que si se tienen más incógnitas que ecuaciones, probablemente no se esté acotando lo suficiente. De hecho, van a tener un número infinito de soluciones. Este número infinito de soluciones podría aún así estar acotado. Digamos que tenemos cuatro dimensiones, en este caso, ya que tenemos cuatro variables. Tal vez estemos acotados dentro de un plano en cuatro dimensiones, o si estuviesemos en tres dimenciones, estaríamos acotados a una línea. Una línea es un número infinito de soluciones, pero es un conjunto más restringido. Resolvamos para este conjunto de ecuaciones lineales. Hemos hecho esto anteriormente en el pasado. Lo que quiero hacer es introducir la idea de matrices. Las matrices son sólo arreglos de números que se encuentran a la mano para este sistema de ecuaciones. Déjenme crear una matriz aquí. Podría solamente crear una matriz coeficiente, en donde la matriz coeficiente sería, déjenme escribirlo en limpio, la matriz coeficiente serían sólo los coeficientes en el lado izquierdo de estas ecuaciones lineales. El coeficiente aquí es 1. El coeficiente aquí es 1. El coeficiente aquí es 2. Tenemos 2, 2, 4. 2, 2, 4. 1 ,2, 0. 1, 2, no hay coeficiente en el término x3, porque no hay término x3 aquí. Digamos que el coeficiente en el término x3 es 0. Y entonces tenemos 1, -1 y 6. Ahora, si hice esto bien entonces ésta sería la matriz coeficiente para este sistema de ecuaciones. Lo que quiero hacer es aumentarlo, quiero aumentarlo con lo que a estas ecuaciones deben ser iguales. Déjenme aumentarlo. Lo voy a hacer es dibujar una pequeña línea aquí, y escribir el 7, el 12 y el 4. Creo que pueden ver que esto es solamente otra manera de escribirlo. Y simplemente por la posición, sabemos que estos son los coeficientes en los términos x1. Sabemos que estos son los coeficientes en los términos x2. Y lo que esto realmente hace es que nos ahorra escribir x1 y x2 cada vez. Podemos hacer esencialmente las mismas operaciones aquí que las que habríamos hecho por acá. Lo que podemos hacer es reemplazar cada ecuación con esta ecuación por algun valor múltiple, más otra ecuación. Podemos dividir una ecuación, o multiplicar una ecuación por un escalar. Podemos sustraerlos uno del otro. Podemos intercambiarlos. Hagamos eso en un intento por resolver esta ecuación. Lo primero que quiero hacer, justo como lo he hecho antes, es colocar esta ecuación de manera que donde sea posible, pueda tener un 1. Mi coeficiente principal en cualquiera de mis filas es un 1. Y cualquier otra entrada en esa columna es un 0. Anteriormente, me he asegurado de que cada otra entrada debajo sea un 0. Esto es lo que estaba haciendo en algunos de los videos anteriores, cuando tratamos de determinar si las cosas eran linealmente independientes o no. Ahora me asegurare de que si hay un 1, si hay un 1 pivote en cualquiera de mis filas, que el resto en esa columna sea un 0. De esta manera, lo que estoy haciendo se llama, forma escalonada reducida por filas. Permítanme escribirlo. Forma escalonada reducida por filas Si llamamos a esta matriz aumentada, matriz A, entonces quiero llevarla a la forma escalonada de matriz A. En las matrices, la convención, al igual que en los vectores uno los pone en negritas y utiliza letras mayúsculas en lugar de letras minúsculas. Hablaremos más de cómo las matrices se relacionan con los vectores, en el futuro. Por el momento, resolvamos este sistema de ecuaciones. Lo primero que quiero hacer es, en un mundo ideal, colocar a todos estos de aquí para que sean 0. Permítanme remplazar a este, con la primer entrada menos la segunda entrada. Déjenme hacerlo. La primera fila no va a cambiar. Será 1, 2, 1, 1. Y después pongo el 7 aquí. Esta es mi primera fila. Ahora la segunda fila, la remplazaré por la primer fila menos la segunda fila. ¿Entonces que tengo? 1 menos 1 es 0. 2 menos 2 es 0. 1 menos 2 es menos 1. Y entonces 1 menos 1 es 2. Esto es 1 más 1. Después 7 menos 12 es menos 5. Ahora quiero deshacerme de esta fila. No quiero deshacerme de ella. Quiero deshacerme de este 2. Quiero convertirlo en un 0. Entonces remplazamos esta fila con esta fila menos dos veces esta fila. Lo que haré es, esta fila menos 2 veces la primer fila. Voy a reemplazar esta fila con eso. 2 menos 2 por 1 es 0. Esto era el punto. 4 menos 2 por 2 es 0. 0 menos 2 por 1 es menos 2. 6 menos 2 por 1 es 6 menos 2, que es 4. 4 menos 2 por 7, es 4 menos 14, que es menos 10. Ahora qué puedo hacer a continuación Lo que puedes ver es que en esta fila, hablaremos más sobre lo que quiere decir esta fila. Cuando de repente todo se ha hecho cero, no hay nada más aquí. Si tuviese un término que no fuera cero aquí, entonces querría hacerlo cero, aunque ahora ya es cero. Por eso me moveré a esta fila. Lo primero que quiero hacer es que el coeficiente pivote sea un 1. Lo que quiero hacer es, multiplicar esta fila completa por menos 1. So multiplico esta fila completa por menos 1. No tengo que reescribir la matriz. Esto se convierte en más 1, menos 2 más 5. Creo que pueden aceptar eso. ¿Ahora qué podemos hacer? Bueno, convirtamos esto a un 0. Permítanme reescribir la matriz aumentada en la nueva forma que tengo. Mantendré la fila del medio igual esta vez. Mi fila del medio es 0, 0, 1, menos 2 y después es aumentada y tengo un 5 aquí. Lo que quiero hacer es eliminar este menos 2 de aquí. ¿Por qué no sumo esta fila a 2 veces esta fila? Entonces tendría menos 2, más 1 y eso funcionará. ¿Qué obtengo? Bueno, estos solo son ceros principales. Después tengo menos 2, más 2 por 1. Eso es 0. 4 más 2 por menos 2, eso es menos 4. Eso es 4 más menos 4, que es 0 también. Entonces tengo menos 10 más 2 por 5. Bien, eso es menos 10 más 10, que es 0. Eso se hizo cero. Normalmente, cuando hacemos eliminación regular, estaba contento con la situación en que tenía estos 1's pivotes. Todo lo de abajo era cero. No estaba preocupado respecto a lo que había sobre los 1's. Lo que quiero hacer, es convertir esos en 0 también. Quiero que este sea un 0 también. Lo que puedo hacer, es reemplazar esta primera fila con la primera fila menos la segunda fila. ¿Qué es 1 menos 0? Solamente 1. 2 menos 0 es 2. 1 menos 1 es 0. 1 menos -2 es 3. 7 menos 5 es 2. Ahí lo tienen. Tenemos nuestra matriz en forma escalonada reducida por filas. Esta es la forma escalonada reducida por filas de nuestra matriz, lo escribiré en negritas, de nuestra matriz A aquí. Saben que se encuentra en forma escalonada debido a todos los 1's en cada fila -- ¿qué son los 1's pivotes en cada fila? Tengo este 1 y este otro 1. Son la única entrada que no es cero en sus columnas. Estas se llaman entradas pivotes. Déjenme las etiqueto para ustedes. Esta se llama entrada pivote. Entrada Pivote Son la única entrada que no es cero en sus respectivas columnas. Si tengo cualquier fila hecha cero, y si las tengo, están aquí. Esta fila está hecha cero. Es solo el estilo, o la convención para la forma de matriz escalonada reducida por filas, debe ser la última fila. Tenemos que las entradas principales son sólo - son todas 1. Este es un caso. No podemos tener esto siendo un 5 Querríamos dividir esta ecuación entre 5, si esto fuera un 5. Entonces sus entradas principales en cada fila son 1. De manera que cada entrada principal en la fila sucesiva se encuentre a la derecha de la entrada de la fila anterior a esta. Este entonces está a la derecha de este otro. Ese es el estilo, la convención de la forma escalonada reducida por filas. Si tienen filas que se han hecho cero, están en la última fila. Finalmente, por supuesto, y creo que he dicho esto varias veces, esta es la única entrada que no es cero en la fila ¿Qué hace esto para mi? Ahora puedo regresar de este mundo, a mis ecuaciones lineales. Recordamos que estos eran los coeficientes en x1, estos eran los coeficientes en x2. Estos eran los coeficientes en x3, en x4 y entonces estas eran mis constantes afuera. Puedo reescribir este sistema de ecuaciones utilizando la forma escalonada reducida como x1, x1 más 2x2 No hay x3 aquí. Entonces más 3x4 es igual a 2. Esta ecuación, sin x1, sin x2, tengo un x3. Tengo x3 menos 2x4 es igual a 5. No tengo ninguna otra ecuación aquí. Esta se hizo cero completamente. Pude reducir este sistema de ecuaciones a este sistema de ecuaciones. Las variables que se asocian con sus entradas pivote, se conocen como variables pivote. x1 y x3 son variables pivote. Las variables que no están asociadas con la entrada pivote las llamamos variables libres. x2 y x4 son variables libres. Ahora vamos a resolver, básicamente solo se puede resolver para las entrada pivote. Las variables libres podemos asociarlas a cualquier variable. Dije esto al inicio de esta ecuación. Tenemos menos ecuaciones que incógnitas. Esta no será una solución bien acotada. No vamos a tener un sólo punto en R4 que resuelva esta ecuación. Vamos a tener varios puntos. Vamos a resolver para nuestras variables pivote, ya que sólo para eso podemos resolver. Esta ecuación nos dice aquí, que x3, lo haré en un mejor color x3 es igual a 5 más 2x4. Entonces tenemos x1 es igual a 2 menos x2, 2 menos 2x2. 2 menos 2x2 más, perdón, menos 3x4. Acabo de sustraer estos de cada lado de las ecuaciones. Esto es esencialmente lo más lejos que podemos ir para la solución de este sistema de ecuaciones. Puedo escoger, realmente cualquier valor para mis variables libres. Puedo elegir cualquier valor para mis x2's y mis x4's y puedo resolver para x3. Lo que quiero hacer ahora es escribir en una manera un poco diferente para que se pueda visualizar un poco mejor. Desde luego, siempre es difícil visualizar cosas en cuatro dimensiones. Para que podamos visualizar las cosas un poco mejor, para el conjunto de esta situación vamos a escribirlo de este modo. Si quisiera escribirlo en forma de vector, nuestra solución es el vector x1, x3, x3, x4. ¿A qué es igual? Bueno, es igual a -- lo escribiré así. Es igual a -- Sólo estoy reescribiendo, sólo estoy básicamente reescribiendo esta solución en forma de vector. Entonces x1 es igual a 2 -- lo escribiré en una pequeña columna aquí -- más x2. Lo escribiré de este modo. Más x2 por algo más x4 por algo. x1 es igual a 2 menos 2 por x2, o más x2 menos 2. Puse un menos 2 ahí. Puedo decir más x4 por menos 3. Puedo poner un -3 ahí. Esto aquí, las primeras entradas de estos vectores, literalmente representan la ecuación de aquí. x1 es igual a 2 más x2 por -2 más x4 por -3. ¿A qué es igual x3? x3 es igual a 5. Pongo este 5 aquí. Más x4 por 2. x2 no aplica a él. Sólo pondremos un 0. 0 por x2 más 2 por x4. ¿A qué es igual x2? Se podría decir, que x2 es iguala 0 más 1 por x2 más 0 por x4 x2 es igual a x2. Es una variable libre. De igual forma, ¿a qué es igual x4? x4 es igual a 0 más 0 por x2 más 1 por x4 ¿Qué hace esto? Bien, ahora hemos expresado nuestra solución, esencialmente como la combinación de la combinación lineal de 3 vectores. Esto es un vector. Pueden verlo como una coordenada. O un vector de posición. Es un vector en R4. Pueden verlo como un vector de posición o una coordenada en R4. Podemos decir, vean, que nuestra solución es esencialmente -- esto es en R4. Cada uno de estos tiene cuatro componentes, pero pueden imaginarlo en r3. Que mi conjunto de solución es igual a algún vector algún vector aquí. Este es el vector. Piensen en él como un vector de posición. Que sería la coordenada 2, 0, 5, 0. Obviamente, este es en cuatro dimensiones aquí. Es igual a múltiplos de estos vectores. Vamos a llamar a este vector aquí, vamos a llamarlo vector a. Vamos a llamar a este vector de aquí, vector b. Nuestro conjunto de solución es todo este punto, que está aquí, o podemos llamarlo vector de posición. Este vector de posición se verá así. Cuando estas iniciando en el origen, ahí, más múltiplos de estos dos. Si este vector a, vamos a hacerlo en un color diferente. El vector a se ve así. Vamos a decir que el vector a se ve así, y entonces el vector b se ve así. Este es el vector b, y este es el vector a. No sé si esto será más fácil o difícil para que ustedes lo visualice, ya que obviamente estamos manejando cuatro dimensiones aquí y yo sólo estoy dibujando en una superficie de dos dimensiones Lo que pueden imaginarse es, que el conjunto de la solución es igual a este punto fijo, este vector de posición, más combinaciones lineales de a y b. Estamos desde luego, en R4. Déjenme escribirlo. Estamos en R4. Pero las combinaciones lineales de a y b van a crear un plano. Pueden multiplicar a por 2 y b por 3, o a por menos 1 y b por menos 100 Pueden continuar sumando y substrayendo estas combinaciones lineales de a y b. Van a construir un plano que contiene el vector de posición, o contiene el punto 2, 0, 5, 0. La solución para estas tres ecuaciones con cuatro incógnitas, es un plano en R4. Se que es difícil de visualizar, y tal vez haga otro en tres dimensiones. Ojalá que esto les de un buen entendimiento de lo que es una matriz aumentada, de lo que es la forma escalonada reducida por filas y cuáles son las operaciones válidas que se pueden llevar a cabo sin descomponer el sistema.