Introduction to limits | Limits | Differential Calculus | Khan Academy

En este video quiero familiarizarte con la idea de un límite. que es una idea super importante, es realmente la idea en la que se basa todo el cálculo, pero a pesar de que es super importante, es en realidad realmente, realmente una idea simple. Bueno, vamos a dibujar una función, en realidad, vamos a definir una función, aquí, un tipo de función simple Así que, definamos f(x), digamos que va ser igual a X menos uno sobre X menos uno, Uds. dirán, hey, tengo lo mismo en el numerador que en el denominador. Tengo algo dividido por lo mismo, eso sería simplemente igual a uno. ¿No puedo simplificarlo y listo? Estás casi en lo cierto. La diferencia entre f(x) igual a uno y a ésto aquí, es que ésto está indefinido cuando X es igual a uno. Si tienes "efe" de uno, ¿Qué pasa? El numerador viene a ser uno menos uno, que es cero, en el numerador y en el denominador uno menos uno, que tambien es cero. Entonces, cualquiera cosa dividido por cero, incluso cero dividido cero es indefinido. Esto es indefinido. No puedes simplificar, no puedes decir que esto es lo mismo a f(x) igual a uno. Pero tendrías que agregar la restricción de que X no puede ser igual a uno, y esto y esto son equivalentes. Ambos van a ser igual a uno, para cualquier X distinto de uno pero cuando X es igual a uno, f(x) resulta indefinido. Esto es indefinido y esto tambien. ¿Cómo grafico esta función? Déjenme dibujarlo. Éste es mi eje "y", "y" es igual a f(x). Esto aquí es mi eje "x". Éste es el punto x = 1. Aqui X = -1, aqui Y = 1. Bueno, esencialmente, para cualquier X distinto de uno, f (X) va a ser igual a uno. Osea, se va a ver así, excepto en uno: En uno f(x) es indefinido. Pongo un vacio aquí. El círculo quiere decir que la función no está definida en ese punto. No sabemos si esta función es igual a uno. Nunca lo definimos. Esta definición de función no nos dice que hacer con X = 1. Es literalmente indefinida. cuando X es igual a uno. Ésta es la función aquí encima. y cuando alguien te pregunte, ¿cuánto vale f(1)? Ésta es la funcíon. x = 1, oh espera, hay un vacio en mi función y esta indefinida. Déjenme escribirla. f(1) es indefinido ¿Cuál es la función de acercamiento de X=1? Ésta es la idea de un límite. X se acerca más y más a uno. Como nos acercamos más y más, x a uno, ¿Cuál es la función de acercamiento? En el lado izquierdo, no importa cuán cerca llegues a uno, siempre y cuando no añadas uno, f(x) es igual a uno Por el lado derecho, tienes lo mismo. asi que podrías decir, y te familiarizás más a la idea, haremos mas ejemplos, que el limite, "lim", al x acercarse a uno de f(x) es igual a, infinitamente cerca a uno, siempre y cuando no añadamos uno, nuestra función va a ser igual a uno, acercandose más y más a uno. Digamos entonces que; el límite, cuando x se acerca a uno de f(x) , es uno. Es una fantasiosa notación. ¿Cúal es la función de acercamiento cuando x se acerca más y más a uno? Déjenme hacer otro ejemplo. Tratemos con una curva. Para que tengan una idea general. Digamos f(x). Por amor a la variedad, dejenme llamar "g" a "f". Digamos que tenemos g(x) g(x) es igual a, puedo definirlo así. x al cuadrado cuando x no es igual a dos. Y digamos que cuando x es igual a dos, es igual a uno. Otra vez tenemos una interesante función que, como verán, no es completamente contínua, tiene discontinuidad. Éste es mi eje de ye. Mi eje de x aquí. x=2, esto es x=1, esto es x=2. Esto es -1. Esto -2. Todo lugar, expecto x=2, es igual a x al cuadrado. Dibujamos una parábola. Algo así. Algo así. No es la más bonita parábola dibujada en la historia del dibujo de parábolas. Pero pienso que te dará la idea de como se ve una parábola. Debería ser simétrico. Déjenme redibujarla. Ok. Se ve mejor ahora. !Muy bien! Éste es el gráfico de x al cuadrado, pero no es al cuadrado cuando x = 2. Cuando x=2 deberíamos tener, un poquito de discontinuidad aqui. Dibujo un vacío aquí. Porque cuando x = 2, la igual es igual a uno. No lo haré a la misma escala. En el gráfico de f(x) = x al cuadrado. Esto es 4, esto 2, esto 1 esto 3, Bueno, cuando x=2, nuestra función es igual a uno. Es un función un poquito bizarra, pero podemos definirla así, o como quieras definirla. Te darás cuenta, es simmplemente como el gráfico de f(x) = X al cuadrado, Excepto que cuando llegas a dos, tiene este vacío, pues no se usa f(x) = x al cuadrado cuando x es igual a dos, se usa f(x), ¡Qué digo! g(x). Se usa g(x). He estado diciendo f(x), disculpen. Se usa g(x)=1. Exactamente como dos cae sobre uno, prolongandose la función g(x) a lo largo de la función X al cuadrado. Bueno, si tuvieras el valor de la función g(2), solo mira esta definición, cuando x=2 yo uso esta definición de aquí, y me dice que va a ser igual a uno. Veamos otra pregunta más interesante, quizás más interesante. ¿Cuál es el límite cuando x se acerca a dos de g(x)?. Otra vez, una función fantasiosa. Pero nos están preguntando algo muy muy simple. Cuando x se acerca más y más a dos. ¿Cúal es la aproximación de g(x)? Osea, si tienes 1.9 y 1.99 o 1.99999 o 1.9999999 ¿Cúal es la aproximación de g(x)? Y qué pasa si vas del lado positivo. Digamos 2.1, ó cúal es el g de 2.01, ó 2.001. ¿Cúal es esa aproximación mientras más nos acercamos? Y puedes verlo visualmente dibujando el gráfico. Al acercarce g a dos. Y si seguimos a lo largo del gráfico, vemos que nos acercamos a 4. A pesar de que ésa no es la función. La función cae sobre uno. El límite de g(x) al x aproximarse a 2 = 4. Puedes hacer esto numericamente usando la calculadora. Va a ser interesante. Déjenme sacar mi calculadora Aquí está. Y puedes decir numericamente, ¿Cuál va a ser la aproximación cuando te aproximas a x=2? Intentemos con 1.9. Para x=1.9 vamos a usar esto de aca arriba. 1.9 al cuadrado. Tenemos 3.61. ¿Y que tal si nos acercamos aún más a dos? 1.99. Otra vez esto al cuadrado. tenemos 3.96. Que tal si tomamos 1.999 Sacamos el cuadrado, tenemos 3.996. Noten, estoy llegando más y más cerca a nuestro punto. Y si tuviera 1.999999999999, al cuadrado, ¿A qué llego? No va a ser algo exacto cuatro, esta calculadora redondea todo. Voy a llegar a un número realmente muy muy cerca a cuatro. Podemos hacer algo desde el lado positivo tambien. Y va ser el mismo número. Cuando nos tratamos de acercar de abajo o de arriba. Si tratamos, 2.1 al cuadrado obtenemos 4.4. Si tratamos 2.0001 llegamos más cerca. Esto es mas cerca a 2, al cuadrado. Estamos ahora mas cerca a cuatro. Mientras mas cerca a dos, mas cerca estamos a cuatro. Es una forma numerica de decir que el limite, cuando x se aproxima a dos por cualquier direccion, la funcion es igual a 1. Porque el limite es discontinuo al acercarnos a 2 y 4.