Divergencia y rotor: el lenguaje de las ecuaciones de Maxwell, flujo de fluidos, y más

Hoy vamos a entrar en esto de la divergencia y rotacional Para asegurarme de que estamos en el mismo canal Comenzaré hablando de campos vectoriales Un campo vectorial es esencialmente lo que obtienes si asocias cada punto del espacio con un vector, algo con magnitud y dirección. Quizás esos vectores representan las velocidades de las partículas del fluido en cada punto del espacio. O tal vez representan la fuerza de gravedad en diferentes puntos del espacio O tal vez una fuerza de campo magnético ¡Una observación! A menudo cuando dibujas un vector a escala los más largos terminan tapando todo el asunto... Así que es común mentir un poco acortando artificialmente los más largos Tal vez usando colores nos de una sensación vaga de la longitud Ahora, en principio los campos vectoriales y físicos podrían cambiar con el tiempo en casi todo el flujo del mundo real las velocidades de las partículas en una región dada del espacio cambiarán con el tiempo en respuesta al contexto que las rodea el viento no es una constante, viene en ráfagas y un campo eléctrico cambia a medida que las partículas cargadas se mueven en él pero aquí solo nos enfocaremos en campos vectoriales estáticos Los cuales tal vez piensas que describen un sistema de estado estacionario También mientras dichos vectores podrían en principio ser de tres dimensiones o incluso de más dimensiones Solo nos enfocaremos en dos dimensiones Una idea importante la cual regularmente nunca se dice Es que a menudo puedes entender un campo vectorial que representa mejor a un fenómeno físico imaginando ¿Qué pasa si representa un fenómeno físico diferente? ¿Qué pasa si esos vectores describen la fuerza gravitacional en lugar de definir el flujo? ¿Cómo sería ese flujo? y ¿Qué nos dicen esas propiedades acerca de la fuerza gravitacional original? y ¿Qué pasaría si se pensara que los vectores que definen el flujo describen la dirección del descenso de una cierta colina? ¿Existe tal colina? y de ser así, entonces ¿Qué nos dice acerca del fluido original? este tipo de preguntas pueden ser de mucha ayuda por ejemplo, las ideas de divergencia y rotacional son entendidas visceralmente cuando el campo vectorial se toma como la representación del fluido incluso si el campo que buscas tiene la intención de describir algo más como un campo electrico Aquí, echa un vistazo a este campo vectorial y piensa en cada vector como una descripción de velocidad del fluido en ese punto date cuenta que, cuando haces esto dicho fluido se comporta de una manera extraña no-física alrededor de algunos puntos, como estos el fluido parece solo surgir de la nada como si ahí hubiera algún tipo de fuente en otros puntos actúa más como un pozo donde el fluido parece desaparecer en la nada la divergencia de un de campo vectorial en un punto en particular del plano te dice que tanto tiende a fluir hacia las regiones cercanas el fluido imaginado por ejemplo, la divergencia de nuestro campo vectorial evaluada en todos los puntos que actúan como fuentes nos dará un número positivo y no solo se tiene que el fluido está fluyendo desde ese punto la divergencia también podría ser positiva solo si el fluido que entra en una dirección es más lento que el fluido que sale de otra dirección ya que esto sigue insinuando una generación espontanea Ahora, por otra parte si en una pequeña región alrededor de un punto ahí parece haber más flujo entrando que saliendo la divergencia en ese punto sería un número negativo recuerda, este campo vectorial es realmente una función que toma entradas bidimensionales y nos da dos resultados bidimensionales la divergencia de ese campo vectorial te da una nueva función Una que toma como entrada un solo punto en 2d pero esa salida depende del comportamiento del campo en una pequeña sección alrededor del punto de esta manera es análogo a una derivada y esa salida es solo un numero medir que tanto actúa ese punto como una fuente o un pozo y aquí omitiré a propósito los cálculos ya que la comprensión de lo que esto representa es más importante observe que esto significa que para un fluido físico real como el agua en lugar de algo imaginado usado para ilustrar un campo vectorial arbitrario entonces si ese fluido es incomprensible, la velocidad del campo vectorial debe de tener una divergencia nula en cualquier punto esta es una importante restricción acerca de que tipo de campos vectoriales podrían resolver problemas de flujo en el mundo real para el rotacional en un punto dado también piensa en el flujo alrededor de él pero esta vez preguntas que tanto ese fluido tiende a rotar alrededor del punto es como si tuvieras que dejar caer una ramita en el fluido en dicho punto y de alguna manera fijar su centro, este tendería a girar regiones en donde esa rotación es contraria a la de las manecillas del reloj se dice que su rotacional es positivo y en las regiones en donde la rotación es igual al de las manecillas del reloj se tiene un rotacional negativo esto no quiere decir que todos los vectores alrededor de la entrada están apuntando en sentido antihorario o que todos ellos están apuntando en sentido horario un punto dentro de una región como este por ejemplo también podría tener un rotacional diferente a cero ya que el flujo es lento en la parte inferior, pero rápido en la parte superior lo que resulta en una influencia neta en sentido horario es cierto que un rotacional adecuado es uno en tercera dimensión uno en donde asocias cada punto en un espacio 3D con un nuevo vector caracterizando la rotación alrededor de ese punto de acuerdo con cierta regla de la mano derecha y tengo mucho contenido en mi curso de Khan Academy describiendo esto con mucho más detalle si gustas verlo pero por ahora para el propósito principal solo me referiré a variantes bidimensionales del rotacional los cuales asocian cada punto en el espacio en 2D con un solo número que con un nuevo vector como dije, incluso aunque estas intuiciones se dan en el contexto de flujo ambas ideas son significantes para otros tipos de campos vectoriales un ejemplo importante es como la electricidad y el magnetismo son descritos por estas cuatro ecuaciones conocidas como las ecuaciones de Maxwell están escritas en el lenguaje de la divergencia y el rotacional La primera por ejemplo es la Ley de Gauss declarando que la divergencia de un campo eléctrico en un punto dado es proporcional a la densidad de la carga en dicho punto dejando salir a la intuición para esto imagina que las regiones cargadas positivamente actúan como fuentes de algún fluido imaginario y las regiones cargadas negativamente actúan como pozos de dicho fluido y en toda parte del espacio donde no hay cargas el fluido podría fluir compresivamente como el agua por supuesto no hay algún fluido eléctrico literal pero es un manera muy útil y bonita de leer una ecuación con esta otra ecuación importante es la divergencia de un campo magnético es cero en todas partes y puedes entender esto diciendo que si el campo representa un flujo dicho flujo debería ser incompresible sin fuentes ni pozos que solo actúa como el agua esto ademas de ser una interpretación de los monopolos magnéticos algo que actúa solo como un extremo norte o sur de un imán de forma aislada no existe, no hay nada como las cargas positivas o negativas en un campo eléctrico igualmente las ultimas dos ecuaciones nos dicen la manera en que uno de estos campos cambia dependiendo del rotacional del otro campo y esto es puramente una idea tridimensional y un poco fuera de nuestro enfoque principal pero el punto es que la divergencia y el rotacional surgen en contextos no relacionados con el flujo y como nota de estas dos ultimas ecuaciones es que dan lugar a las ondas de luz y muy a menudo estas ideas son útiles en contextos en los cuales ni siquiera parecen espaciales en la naturaleza al principio para tomar un clásico ejemplo que se suele estudiar en ecuaciones diferenciales digamos que quieres rastrear el tamaño de la población de dos especies diferentes donde quizás una especie es un depredador de la otra el estado de este sistema en un momento dado es decir, que los tamaños de las dos poblaciones pueden considerarse como un punto en un espacio de dos dimensiones que podrías llamar "la fase de espacio" de este sistema para un par de tamaños dados de poblaciones estas poblaciones quizás están inclinadas a cambiar basado en cosas como ¿Qué tan reproductivas son estas dos especies? o ¿Qué tanto disfruta uno de ellos comiendo al otro? estas tasas de cambio normalmente se escriben de manera analítica como un conjunto de ecuaciones diferenciales y está bien si no logras entender estas ecuaciones solo menciono esto para los curiosos y por ello metí variables con imágenes que me hicieron reír un poco pero lo importante aquí es esa linda manera de visualizar lo que realmente nos dice un conjunto de ecuaciones, es asociar cada punto en el plano cada par de tamaños de población con un vector indicando las tasas de cambio de ambas variables por ejemplo cuando hay muchos zorros pero pocos conejos relativamente el número de zorros tendería a disminuir por el suministro limitado de comida y el numero de conejos también tendería a disminuir debido a que ellos son comidos por los zorros potencialmente más rápido de lo que pueden reproducirse entonces, un determinado vector aquí nos dice como y que tan rápido un par dado de tamaños de población tienden a cambiar observe este caso en donde el campo vectorial no trata de un espacio físico en cambio es una representación de un cierto sistema dinámico que tiene dos variables y como este se involucra con el tiempo esto puede quizás dar sentido a ¿Por qué a los matemáticos les interesa estudiar la geometría de dimensiones superiores? ¿Qué pasa si nuestro sistema rastreara más de dos o tres números? Ahora, el flujo asociado con este campo es llamado "la fase de flujo" para nuestra ecuacion diferencial y esta es una manera de conceptualizar cuantos estados iniciales posibles evolucionarían con el tiempo operaciones como la divergencia y el rotacional pueden ayudar a informarte acerca del sistema si los tamaños de población tienden a converger en un par de números en particular o si hay algunos valores que difieren de un patrón cíclico y si esos ciclos son estables o inestables para ser honesto contigo sobre algo como esto a menudo traería herramientas relacionadas más allá de la divergencia y rotacional y te darían la historia completa pero al practicar estas dos ideas, te llevará a estudiar configuraciones como esta con piezas similares de maquinaria matemática Ahora si realmente quieres dominar estas ideas deberías aprender como calcularlos y practicar dichos cálculos dejaré algunos enlaces en donde podrás aprender acerca de esto y practicar si asi lo deseas de nuevo, hice algunos videos, articulos y trabajé algunos ejemplos para Khan Academy sobre este tema durante un tiempo, así que allí se trata con mucho más detalle comenzaremos a sentirnos redundantes, pero vale la pena mencionar algo respecto a la notación asociada a estos cálculos comúnmente la divergencia se escribe como el producto punto entre una clase de triangulo al revés y una función de campo vectorial y el rotacional se escribe casi igual, solo que con un producto cruz aveces se les dice a los estudiantes que es solo un truco notacional cada calculo implica la suma de ciertas derivadas y el triangulo al revés nos pide tratarlo como un vector de esta manera nos ayuda mantener todo en su lugar actualmente esto es más que un dispositivo mnemotécnico hay una conexión real entre la divergencia y el producto punto y entre el rotacional y el producto cruz incluso sin realizar cálculos me gustaría al menos darte una explicación vaga de como estas ideas están conectadas imagina dar un pequeño paso desde punto de tu campo vectorial hacia otro el vector de ese nuevo punto podría ser un poco diferente al del primer punto habrá un pequeño cambio en la función después de dar ese paso el cual podrías ver como una resta del vector original al nuevo vector y este tipo de diferencia para tu función en pasos pequeños es de lo que trata el cálculo diferencial Ahora, lo que nos da el producto punto es la medida de como los dos vectores están alineados el producto punto del vector paso con el vector diferencia tiende a ser positivo en regiones donde la divergencia es positiva y viceversa de hecho en cierto sentido la divergencia es un tipo de valor promedio del producto punto de un paso con el cambio de la salida, que causa todas las posibles direcciones de dicho paso asumiendo que están re-escaladas de manera apropiada quiero decir, piénsalo si un paso en alguna dirección causa un cambio en ese vector en la misma dirección esto corresponde a una tendencia de flujo hacia afuera para una divergencia positiva por otro lado, si estos productos punto tienden a ser negativos quiere decir que el vector diferencia esta apuntando a la dirección contraria del vector paso esto corresponde a una tendencia de flujo hacia adentro una divergencia negativa recuerda que el producto cruz es un tipo de medida de que tan perpendiculares están dos vectores entonces, el producto cruz de tu vector paso con el vector diferencia tiende a ser positivo en regiones donde el rotacional es positivo y viceversa piensa en el rotacional como un tipo de promedio de este producto cruz del vector paso y el vector de diferencia si un paso en alguna dirección corresponde a un cambio perpendicular al mismo paso este corresponde a una tendencia para la rotación del flujo entonces... normalmente esta es la parte en donde entra alguna clase de mensaje del patrocinador pero hay una cosa que quiero hacer con el avance del canal quiero dejar de agregar contenido del patrocinador y en su lugar quiero hacer cosas para la relación con la audiencia quiero decir, no solo en el sentido de recaudar fondos con la ayuda de Patreon tambien en el sentido de que que estos vídeos podrían cumplir mejor con el objetivo de cada uno de ustedes si cada uno de ustedes sienten que solo somos tu y yo compartiendo en amor a las matemáticas sin motivo alguno especialmente en lo casos donde la audiencia son estudiantes Hay otras razones que he escrito en patreon las cuales puedes leer sin necesidad de ser un "Supporter" en Patreon, solo estan ahí Pienso que la publicidad en internet ocupa un amplio espectro desde el clickbait degenerado hasta las bien alineadas asociaciones ahora, siempre he tenido el interés de hacer promociones para compañías que realmente recomendaría te daré un ejemplo, es posible que hayas notado que hice varias promociones para Brilliant y es difícil imaginar algo mejor que esto quiero decir, intento inspirar a personas para que se interesen en la matemáticas pero también soy creyente de que los vídeos no son suficiente que necesitas resolver problemas activamente y aquí esta una plataforma que provee practica de la misma manera que he promovido a otros siempre me aseguro de sentirme bien alineado pero aun así, incluso si buscas las mejores asociaciones posibles siempre que la publicidad se centre en la ecuación los incentivos serán siempre alcanzar la mayor cantidad de personas posible pero cuando el modelo es más exclusivo en la dirección de la relación con la audiencia los incentivos apuntan hacia la maximización de ¿Qué tan valiosas encuentran las personas sus experiencias obtenidas? y pienso que estos dos objetivos están correlacionados pero no siempre es perfecto me gusta pensar siempre en intentar maximizar el valor de la experiencia sin importar que pero para el caso, también me gusta pensar que puedo despertar temprano constantemente y resistir comiendo mucha azúcar, lo que más importa es querer alinear los incentivos de cualquier manera si quieres escuchar más de mis pensamientos te dejaré un enlace a mi publicación en Patreon y de nuevo gracias "Supporters" por existir y hacer esto posible, y nos vemos en el siguiente video