¿Debería responder un examen tipo test?

en este vídeo vamos a hablar de los exámenes tipo test centrándonos especialmente en su aparentemente extraño sistema de puntuación además usaremos las matemáticas para saber cuándo merece la pena arriesgarse a responder de acuerdo empecemos por el principio cuando nos enfrentamos a un examen tipo test solemos encontrar dos tipos de corrección especialmente interesantes [Música] el primero es aquel en el que no suman puntos cuando aceptamos una respuesta y nos restan cuando fallamos [Música] el segundo tipo quizás menos común es aquel en el que nos restan una cantidad fija de respuestas correctas del total podría parecer que no pero si el examen está bien diseñado estos sistemas se hacen para que sean matemáticamente justos y a continuación lo demostraremos para ello empecemos recordando lo que es la famosa media muestral también llamada media a secas si tenemos una serie de datos su media se calcula simplemente sumando todos los valores y dividiéndolo entre el número de datos que hemos considerado hasta aquí fácil verdad bien ahora definimos otra variable íntimamente relacionada la esperanza cuando tenemos una variable aleatoria la esperanza es la media que obtendríamos si tomásemos una cantidad de muestras infinita lógicamente para que un juego aleatorio se considere justo su esperanza debe ser cero o dicho de otra forma cualquiera de los jugadores debe ganar tanto como pierde por supuesto todos los juegos de casino y las loterías tienen una esperanza negativa para el jugador de esta forma aunque puedas ganar puntualmente si continúa jugando suficiente tiempo al final la casa siempre gana vale si la esperanza es algo tan importante entonces cómo se calcula pues muy fácil si tenemos una variable aleatoria que toma una serie de valores posibles multiplicamos cada valor por la probabilidad de que suceda y los sumamos para entenderlo mejor vamos a aplicar la teoría directamente al caso que nos ocupa así que supongamos que tenemos un examen con las siguientes normas cada pregunta tiene tres posibles respuestas de las cuales sólo una es correcta supongamos además que por cada pregunta acertada nos dan un punto y por cada una incorrecta nos quitan un punto es este examen justo veámoslo calculando la esperanza de la nota de cada pregunta hemos dicho que nuestra nota puede tomar los valores 1 o menos 1 para calcular la probabilidad de cada una de esas notas suponemos que no tenemos ni idea y respondemos aleatoriamente de esta forma la regla de laplace nos dice que la probabilidad de acertar será 1 entre 3 y la de fallar será 2 entre 3 si hacemos los cálculos vemos que la esperanza es negativa eso quiere decir que si nos arriesgamos a responder aleatoriamente alguna pregunta lo más probable es que la nota de nuestro examen disminuya así que en este caso no es recomendable arriesgarse esta expresión la podemos generalizar para calcular la esperanza de cualquier examen supondremos que m mayúscula es la cantidad de puntos que nos dan por cada respuesta acertada en minúscula los puntos que nos restan por cada fallo y p la cantidad de opciones de cada pregunta hay que destacar que este número es el número de respuestas incorrectas que lógicamente son todas menos una que es la respuesta correcta si igualamos a 0 esta expresión podemos calcular cuánto deberíamos restar por cada respuesta errónea para que el examen sea justo o dicho de otra forma para que alguien que no supiera nada del tema sacará un cero probablemente y despejar de aquí es fácil solo tenemos que sacar factor común y pasarlo al otro lado para que se vaya [Música] ahora pasamos esto al otro lado sumando y por último pasamos esto otro dividiendo si esta igualdad se cumple normalmente es recomendable responder esto se debe a que en la vida real lo normal es que sepamos algo del tema y no respondamos de forma 100% aleatoria en el caso en el que podamos descartar con seguridad una de las opciones podemos demostrar fácilmente como las probabilidades se vuelven en nuestro favor para ello volvemos a calcular la esperanza de nuestra nota suponiendo que el examen fuera justo ahora cambiamos las probabilidades ya que tenemos una opción menos entre las que elegir [Música] si simplificamos esto sacamos m mayúscula factor común [Música] y operamos con las fracciones [Música] llegamos a esta fórmula podemos ver que este número es positivo si no me crees fíjate que m mayúscula es positivo por definición y el denominador es positivo ya que cualquier número real elevado al cuadrado es positivo en cualquier caso si te tienes que enfrentar a un examen con unas normas diferentes a las que hemos visto aquí siempre puedes volver a la fórmula original y comprobar si la esperanza te da positiva aunque reconozco que a veces puede ser un poco complicada de calcular además de este dijimos al principio que íbamos a hablar de los exámenes en los que nos quitan una cantidad fija de todas las preguntas que acertemos este caso es incluso más sencillo que el anterior supongamos de nuevo que tenemos un examen de tres opciones por pregunta si respondemos aleatoriamente aceptaremos más o menos un perfil si queremos ser justos lo único que tenemos que hacer es restar esas respuestas aceptadas debido al azar [Música] matemáticamente si nuestro examen tuviera una cantidad n de preguntas y si llamamos al número de respuestas acertadas que nos restan entonces podemos calcular el como n / / p por supuesto también podemos utilizar la esperanza para calcular este parámetro de la siguiente forma por una parte tenemos la esperanza de la nota de cada pregunta como en el caso anterior si lo multiplicamos por el número de preguntas tenemos la esperanza de la nota del examen completo por último a esto debemos restarle la nota de las preguntas correctas que nos quitan para que el examen sea justo tenemos que igualar de nuevo este a 0 y despejando obtenemos el valor que ya habíamos supuesto antes de forma intuitiva en este tipo de exámenes no hay ninguna duda hay que responder siempre una respuesta incorrecta no te restará más puntos que una pregunta no contestada y si respondes siempre tendrás alguna posibilidad de aceptar aunque sea al azar y bueno eso es todo por hoy espero que te haya gustado este vídeo y que te sea útil y te recuerdo que puedes pasarte por el canal para ver más vídeos de ciencia y que puedes buscarnos en las redes sociales un saludo y hasta la próxima [Música]